KMO2010 기출 - 중등부 대수 3번

2010 kmo 중등부 대수 3번 문제는 직사각형의 변 위를 움직이는 두 점 \(P,Q\)에 대해 특정 거리가 되는 상황은 언제인지 묻는 문제입니다. 우선 문제를 보겠습니다.

➤ 2010 중등 KMO 대수 3번

두 동점 \(P,Q\)가 \(AB=3cm,\;BC=4cm\)인 직사각형 \(ABCD\)의 둘레를 분속 \(2m\)와 \(3m\)로 움직인다. 시각 \(t=0\)분에 점 \(A\)에서 동시에 출발하여 \(A\rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A \rightarrow \cdot \)방향으로 60분 동안 움직일 때 두 동점 사이의 거리(선분 \(PQ\)의 길이)가 \(5m\)가 되는 모든 시각 \(t\)(분)의 합을 구하여라. 

문제의 조건 파악 및 사전 지식

변 길이가 3,4인 직사각형이므로 피타고라스 정리에 의해 대각선이 5이고 5가 되는 경우는 그 경우 뿐입니다. 즉, 대각선의 양 끝점에 각각 두 동점이 위치해야 합니다. 시간이 지남에 따라 각 점의 위치를 파악하는 것이 문제 해결의 가장 중요한 점이 됩니다. 이러한 관계를 잘 표현할 수 있는 것이 그래프입니다. 즉, 시간에 변화에 따른 위치를 좌표 평면에 나타낸다면 문제를 파악하고 적용하는 것이 한결 쉽습니다. 두 점의 속도가 일정하므로 시간과 위치의 그래프는 기본적으로 일차 함수의 형태입니다. 그러나 같은 지점으로 돌아오는 것을 주의하면 아래의 풀이와 같은 그래프를 얻을 수 있고 모든 상황을 해석할 수 있습니다. 

문제의 풀이

두 동점 \(P,Q\) 사이의 거리가 5m가 되려면 \(P,Q\)가 점 \(A,C\)이거나 \(B,D\)이다. 한편, \(A\)에서 출발하여 시간에 따른 \(P,Q\)의 위치의 그래프를 그리면 다음과 같이 나타난다. 

붉은 선과 푸른 선은 각각 시간에 따른 점 \(P,Q\)의 위치를 나타낸다. 출발하여 14분이 지나면 \(P,Q\)모두 다시 \(A\)에 돌아오게 되고 그 중간에 정확히 한 번 7분에 5m가 되고 그 때 \(P,Q\)는 각각 \(A,C\)에 위치한다. 따라서 60분이 되기 전에 7분, 21분, 35분, 49분에 조건을 만족한다. 따라서 시각의 합은 112이다. ∎