KMO 기출 풀이 - 2010 중등부 대수 1번

2010 중등 KMO 대수 1번 문제는 다항식에 관한 문제로 등식으로부터 정해지지 않은 계수를 결정하는 문제입니다. 게수가 모두 결정되면 다항식의 차수도 결정된다는 것을 의미하므로 다항식을 완전히 결정한다는 것입니다. 문제는 아래와 같습니다.

➤ 2010 중등 KMO 대수 1번

두 다항식 

\begin{equation*} \begin{split} & P(x)=x^2 + a \;(a\not=0),\\ & Q(x)=x^3 + bx +c \end{split} \end{equation*} 가 \(P(Q(x))=Q(P(x)\)를 만족할 때 \(Q(10)\)의 값을 구하여라.

문제 조건 파악 및 사전 지식

가장 중요한 문제 해결의 조건은 \(P(Q(x)) = Q(P(x))\)입니다. 이 등식의 의미는 \(P(x)\)의 \(x\)의 자리에 \(Q(x)\)를 넣는다는 것입니다. 우변도 마찬가지입니다. 이렇게 넣어서 정리를 하여 양변의 계수를 비교하는 것이 이 문제를 해결하는 방법입니다. 이와같이 다항식의 계수를 비교하여 그것들을 결정하는 것을 계수비교법이라 합니다. 한편, 두 다항식이 같다는 등호는 모든 \(x\)에 대해서 성립하는 것을 말합니다. 따라서 \(x\)에 특정한 값을 넣어도 그 등식은 성립하므로 적당한 값을 넣어서 연립방정식을 얻어 계수를 결정하는 방법을 수치대입법이라 합니다. 

문제의 풀이

(풀이) 주어진 등식 \(P(Q(x))=Q(P(x)\)을 이용한다. 즉, 각각 \(P,Q\)에 \(Q,P\)를 대입하여 계수를 비교한다. 

 \begin{equation*} \begin{split} P(Q(x))&=(x^3 + bx +c)^2 +a\\&=(x^3 + bx)^2 + 2(x^3 +bx)c + c^2 + a \end{split} \end{equation*} 

\begin{equation*} Q(P(X))=(x^2 +a )^3 + b(x^2 + a) + c \end{equation*} 

두 번째 식에는 \(x\)에 대한 1차 항이 없다. 따라서 첫 번째 식에서 \(c=0\)이다. 이제 \(c\)에 0을 대입하면 

  \begin{equation*} (x^3 + bx)^2 +a = (x^2 +a)^3 + b(x^2 + a) \end{equation*} 이고 정리하면 \begin{equation*} \begin{split} & x^6 + 2bx^4 + b^2 x^2 + a & \\ = & x^6 + 3ax^4 + (3a^2 +b)x^2 + a^3 + ab \end{split} \end{equation*} 이다. 

이제 양변의 계수를 비교하면 다음의 세 방정식을 얻는다. 

 \begin{equation*} \begin{split} 2b&=3a\\ b^2 &=3a^2 + b \\ a &= a^3 + ab \end{split} \end{equation*} 

여기서 세 번째 식에서 \(a\)를 약분하고 \(a^2\)으로 정리해서 두 번째 식에 대입하면

\begin{equation*} \begin{split} 0&=b^2 -3(1-b)-b \\ &= b^2 +2b-3 \\ &=(b-1)(b+3) \end{split} \end{equation*} 이므로 \((a,b)=(0,1),(-2,-3)\)이다. 

\(a \not=0\)이므로 \(Q(x)=x^3 - 3x\)이고 \(10\)을 대입하면 \(970\)을 얻는다. 따라서 정답은 \(970\)이다. ◼