KMO 기출 풀이 - 2010 중등부 대수 2번

2010 중등 KMO 대수 2번 문제는 임의의 실수 \(x\)에 대하여 주어진 부등식을 만족하도록 다항식의 계수를 결정하는 문제입니다. 주어진 다항식은 두 이차식의 곱으로 이차식에 대한 이해를 바탕으로 문제를 해결할 수 있습니다. 이차함수로 생각하여 그래프의 개형을 잘 이해한다면 숨어있는 경우를 잘 찾아내어서 정답을 얻을 수 있습니다. 문제는 다음과 같습니다. 

➤ 2010 중등 KMO 대수 2번

모든 실수 \(x\)에 대하여 

\begin{equation*} (x^2 +(7-p)x + 2 ) ( px^2 + 12x + 2p) \geq 0 \end{equation*} 

을 만족시키는 정수 \(p\)의 개수를 구하여라. 

문제의 조건 파악 및 사전 지식

부등식에 관한 기본적인 지식과 이차식에 대한 이해가 필요합니다. 두 수 \(A,B\)의 곱 \(AB\)가 \(0\) 보다 크다면 두 수 \(A,B \)는 모두 \(0\)보다 큽니다. \( AB < 0 \)이면 두 수는 모두 \(0\)보다 작습니다. 여기에 등호가 들어간 부등호라면 등호의 조건을 조금 더 신경 써야합니다. 

이차식은 최고차 항의 차수가 2차인 다항식을 의미합니다. \(y=f(x)\)에서 \(f(x)\)가 이차식이면 \(y=f(x)\)를 이차함수라고 합니다. 이차함수의 그래프는 아래로 볼록 또는 위로 볼록하게 생겼는데 이 모양은 이차항의 계수의 부호에 따라 바뀝니다. 이차항의 계수가 양수이면 아래로 볼록하고 음수이면 위로 볼록한 모양입니다. 

모든 실수에 대해서 주어진 부등식을 만족하기 위한 조건을 이차함수의 그래프를 이용해서 어떤 상황인지 파악을 하는 것이 이 문제의 핵심이 됩니다. 즉, 각각 0보다 크거나 같은 경우는 성립함을 잘 알아낼 수 있지만 그것이 아닌 경우에 대해서도 고려하는 것이 이 문제의 핵심입니다. 두 번째 경우는 한 함수가 0보다 작은 함숫값을 갖더라도 두 함수의 곱이 0보다 크거나 같을 수 있는 상황입니다. 즉, 두 함수의 그래프의 개형을 여러가지로 관찰을 하는 것으로 찾아낼 수 있습니다. 이렇게 부등식에 관한 기본 지식과 이차함수 그래프의 개형을 고려하여 다음과 같은 풀이를 할 수 있습니다.

문제의 풀이

(풀이) 만약 \(p=0\)이면 3차 식이 되므로 부등식이 성립할 수 없다. \(p\)가 음의 정수이면 두 번째 이차식의 최고차 항의 계수가 음수이므로 그래프가 위로 볼록하므로 좌변이 0보다 작게 되는 \(x\)를 찾을 수 있다. 즉, \(p\)는 양의 정수이다. 

\begin{equation*} \begin{split} &f(x)=x^2 +(7-p)x+2 \\ &g(x)=px^2 + 12x+ 2p \end{split} \end{equation*} 라 두자. 

이차함수의 그래프 개형을 고려하면 부등식이 성립할 수 있는 경우는 다음과 같이 (1), (2)의 두 가지다.

(1) 모든 \(x\)에 대해서 \( f(x)\geq0 \) 이고 \(g(x)\geq0\) 인 경우 

(2) \(f(x) < 0 \) 인 \( x \) 가 있는 경우

(1)의 경우는 두 방정식 \(f(x)=0, g(x)=0\)의 실근이 한 개이거나 없다. 즉, 판별식이 모두 0보다 작거나 같다. 따라서 

 \begin{equation*} \begin{split} 0 & \geq D=(7-p)^2 - 8 \\ 0 & \geq \frac{D}{4}=6^2 - 2p^2 \end{split} \end{equation*} 

가 성립한다. 따라서 \(p=5,6,7,8,9\)이다. 

 \(f(x)\) 의 값이 0보다 작은 경우가 있는 (2)의 경우는 부등식을 만족하기 위해서 \(f(x)=0\)과 \(g(x)=0\)의 실근이 일치해야 한다. 즉, 다음과 같은 그래프의 형태다.

따라서 이차항의 계수가 \(p\)이므로 \(pf(x)=g(x)\)를 만족한다. 그러므로

\begin{equation*} \begin{split} pf(x)&=p(x^2 + (7-p)x + 2) \\&= px^2 + (7p-p^2 ) x +2p\\ g(x)&=px^2 +12x +2p \end{split} \end{equation*} 

에서 1차항의 계수를 비교하면

\begin{equation*} \begin{split} 7p-p^2&=12\\ 0&=p^2 - 7p +12 \\ &=(p-3)(p-4) \end{split} \end{equation*} 

이다. 따라서 경우 (1), (2)로부터 \(p=3,4,5,6,7,8,9\)의 7개의 정수가 주어진 부등식을 만족한다. <끝>