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2010 중등 KMO 대수 2번 문제는 임의의 실수 \(x\)에 대하여 주어진 부등식을 만족하도록 다항식의 계수를 결정하는 문제입니다. 주어진 다항식은 두 이차식의 곱으로 이차식에 대한 이해를 바탕으로 문제를 해결할 수 있습니다. 이차함수로 생각하여 그래프의 개형을 잘 이해한다면 숨어있는 경우를 잘 찾아내어서 정답을 얻을 수 있습니다. 문제는 다음과 같습니다.  ➤  2010 중등 KMO 대수 2번 모든 실수 \(x\)에 대하여  \begin{equation*} (x^2 +(7-p)x + 2 ) ( px^2 + 12x + 2p) \geq 0 \end{equation*}  을 만족시키는 정수 \(p\)의 개수를 구하여라.  문제의 조건 파악 및 사전 지식 부등식에 관한 기본적인 지식과 이차식에 대한 이해가 필요합니다. 두 수 \(A,B\)의 곱 \(AB\)가 \(0\) 보다 크다면 두 수 \(A,B \)는 모두 \(0\)보다 큽니다. \( AB < 0 \)이면 두 수는 모두 \(0\)보다 작습니다. 여기에 등호가 들어간 부등호라면 등호의 조건을 조금 더 신경 써야합니다.  이차식은 최고차 항의 차수가 2차인 다항식을 의미합니다. \(y=f(x)\)에서 \(f(x)\)가 이차식이면 \(y=f(x)\)를 이차함수라고 합니다. 이차함수의 그래프는 아래로 볼록 또는 위로 볼록하게 생겼는데 이 모양은 이차항의 계수의 부호에 따라 바뀝니다. 이차항의 계수가 양수이면 아래로 볼록하고 음수이면 위로 볼록한 모양입니다.  모든 실수에 대해서 주어진 부등식을 만족하기 위한 조건을 이차함수의 그래프를 이용해서 어떤 상황인지 파악을 하는 것이 이 문제의 핵심이 됩니다. 즉, 각각 0보다 크거나 같은 경우는 성립함을 잘 알아낼 수 있지만 그것이 아닌 경우에 대해서도 고려하는 것이 이 문제의 핵심입니다. 두 번째 경우는 한 함수가 0보다 작은 함숫값을 갖더라도 두 함수의 곱이 0보다 크거나 같을 수 있는 상황입니다. 즉, 두 함수의 그래프의 개형을 여러가지로 관찰을 하는 것

2010 중등 KMO 대수 1번 문제는 다항식에 관한 문제로 등식으로부터 정해지지 않은 계수를 결정하는 문제입니다. 게수가 모두 결정되면 다항식의 차수도 결정된다는 것을 의미하므로 다항식을 완전히 결정한다는 것입니다. 문제는 아래와 같습니다. ➤ 2010 중등 KMO 대수 1번 두 다항식  \begin{equation*} \begin{split} & P(x)=x^2 + a \;(a\not=0),\\ & Q(x)=x^3 + bx +c \end{split} \end{equation*} 가 \(P(Q(x))=Q(P(x)\)를 만족할 때 \(Q(10)\)의 값을 구하여라. 문제 조건 파악 및 사전 지식 가장 중요한 문제 해결의 조건은 \(P(Q(x)) = Q(P(x))\)입니다. 이 등식의 의미는 \(P(x)\)의 \(x\)의 자리에 \(Q(x)\)를 넣는다는 것입니다. 우변도 마찬가지입니다. 이렇게 넣어서 정리를 하여 양변의 계수를 비교하는 것이 이 문제를 해결하는 방법입니다. 이와같이 다항식의 계수를 비교하여 그것들을 결정하는 것을 계수비교법 이라 합니다. 한편, 두 다항식이 같다는 등호는 모든 \(x\)에 대해서 성립하는 것을 말합니다. 따라서 \(x\)에 특정한 값을 넣어도 그 등식은 성립하므로 적당한 값을 넣어서 연립방정식을 얻어 계수를 결정하는 방법을 수치대입법 이라 합니다.  문제의 풀이 (풀이) 주어진 등식 \(P(Q(x))=Q(P(x)\)을 이용한다. 즉, 각각 \(P,Q\)에 \(Q,P\)를 대입하여 계수를 비교한다.   \begin{equation*} \begin{split} P(Q(x))&=(x^3 + bx +c)^2 +a\\&=(x^3 + bx)^2 + 2(x^3 +bx)c + c^2 + a \end{split} \end{equation*}  \begin{equation*} Q(P(X))=(x^2 +a )^3 + b(x^2 + a) + c \end{equation*}  두